第403回 シーズン41 エピソード3

式の計算、問いの意味（前編）

【書籍紹介】

「証明……わかりません $\mathtt{\text{..}}\text{o}\text{O}$」 ノナちゃんが図形の証明に挑戦！

ノナ「どうして……この $x+x=2x$ は計算できるんですか $\mathtt{\text{..}}??$」

僕「なるほど。ありがとう、ノナちゃん。 そんなふうに質問してくれると、ノナちゃんが何を知りたいと思っているか、わかりやすくなるね。 $x+x=2x$ というのは $x$ がどんな数であっても成り立つ式。 $x$ がどんな数でも——

• 『$x+x$』つまり『$x$ と $x$ とを足した数』
• 『$2x$』つまり『$x$ を $2$ 倍した数』

ノナ「計算 $\mathtt{\text{..}}\text{o}\text{O}$」

僕「でも、 $x+x$ を必ず $2x$ にまとめなければいけないってわけじゃない。 まとめた方が便利なのは確かだけどね」

ノナ「計算……計算しなくてもいい $\mathtt{\text{..}}??$」

僕「うん。じゃあ、この方向にいっしょに進んでいこうか」

ユーリ「お兄ちゃんの《先生トーク》が炸裂するぜ！」

僕「$x+x=2x$ は『$x+x$ と $2x$ は等しい』を表しているんだけど、 さっき僕は『$x$ がどんな数でも $x+x$ と $2x$ は等しい』のように言葉を補って説明したよね」

ユーリ「ちょっと待って。いま同じこと二回言わなかった？」

僕「『$x$ がどんな数でも』って言葉を補ったよ」

ユーリ「それ、大事な話？　それとも細かいところへのこだわり？」

僕「両方だよ。何かの本に、$$x+x=2x$$とだけ書かれていたら、 それは『$x+x$ と $2x$ は等しい』と読むのが普通のこと。 先生が黒板に $x+x=2x$ とだけ書いて何も言わない場合も同じ」

ノナ「……」

僕「先生が、 $$x+x=2x$$ という式だけをぽつんと書いて、あとは無言だったら、 $$x+x\text{ と }2x\text{ は等しい}$$ と言ってるだけだ。それ以上は何も意味してない」

ユーリ「えー」

ノナ「恐い $\mathtt{\text{..}}\text{o}\text{O}$」

ユーリ「だよねー！　先生が黒板に式だけ書いて腕組みして黙ってじっとこっちを見てたら恐すぎるって。 『……はい、みなさんが静かになるまで、五分かかりました』って怒られるやつじゃん！　ヤバし」

僕「勝手に余計な演出を入れるなよ。 一つの式をぽつんと置いただけで表せる主張は限られてるっていう話をしてるんだよ」

ユーリ「わーってる、わーってるって。軽いジョークじゃん」

僕「先生はたいてい、黒板に式を書いて口で説明を補ってる。 『この式は $x$ がどんな数でも成り立ちます』みたいにね」

ノナ「計算 $\mathtt{\text{..}}??$」

僕「そうそう。『$x+x$ を計算したら $2x$ になります』のように説明することもあるね。 ものすごく言葉を補って説明すると……

• $x$ がどんな数でも、 $x+x$ と $2x$ は等しくなります。
• ですから、式の中に $x+x$ が出てきたら、それを $2x$ に置き換えても構いません。
• そのように置き換えると、場合によっては式が読みやすくなったり、問題の答えを見つけるのに役立つことがあります。
• こういう置き換えは他にもいろいろあるけれど、それをまとめて式の計算と呼びます。
• 式の計算のやり方を知っていて、自分で自由に使えるようになると便利ですよ。

ユーリ「うわ、くど！　くどさ、ここに極まれり」

ノナ「計算しなくてもいい $\mathtt{\text{..}}??$」

僕「うん、そうだよ。 $x+x$ を計算して $2x$ にしてもいいけれど、しなくてもいい。 逆に $2x$ が出てきたときに $x+x$ に直してもいい。 $2x$ を $x+x$ にすることは少ないかもしれないけど、 $$\text{《}x\text{を使って表された}A\text{》}=\text{《}x\text{を使って表された}B\text{》}$$ という形の式を習ったときに『AをBに直す』だけじゃなくて、 逆に『BをAに直す』ことをやっても構わない。 イコール（$=$）の左と右に書いたもの、つまり左辺（さへん）と右辺（うへん）は交換しても構わないから」

ユーリ「……」

ノナ「……」

ノナ「$1+2=3$ は計算なの……計算ですか $\mathtt{\text{..}}??$」

僕「もちろん、計算といっていいよ」

僕「ただ、僕が言おうとしてたのはこういうこと。 $1+2=3$ という式そのものは、 『$1$ と $2$ を足した数』と『$3$ という数』は等しいと言ってるだけ。 そして、その式を使えば、 $1$ と $2$ を足したら $3$ に等しくなるという数の計算を説明できる。 『左辺から右辺に数の計算を進めてもいいですよ』 という説明ができる」

ノナ「こう……こうですか $\mathtt{\text{..}}\text{o}\text{O}$」

僕「そうだね！　文字が書かれているとき、 僕たちはふだんは左から右に読んでいくから、 左辺を計算したら右辺になるという流れは伝えやすい。 その方が自然に理解できるから、 ほとんどの場合は左辺を計算した結果を右辺に書く。 でもそれはイコール（$=$）を使った式を利用して計算を説明しているんであって、 イコールという記号そのものに、 左辺を右辺に変換するみたいな役目が最初からあるわけじゃないんだ——おっとっと、 早口すぎた？」

ノナ「大丈夫 $\mathtt{\text{..}}\text{o}\text{O}$」

僕「いまの僕の説明は何となくわかったかなあ」