第393回 シーズン40 エピソード3

パスカルの三角形、もっと（前編）

パスカルの三角形

ユーリ「……パスカルの三角形で、二つの数を足すと《組み合わせの数》が出てくる理由、わかったかも！（第392回参照）」

僕「それはよかった」

ユーリ「最後の一つを選ぶか選ばないかで場合分けしておいて、その両方を足す——あれ、でもおかしくない？」

僕「何かおかしなところあった？」

ユーリ「だって……二つの数を足すところはわかったけど、 $1$ は？」

$1$ の理由を考える

僕「$1$ って？　ああ、両端の $1$ のことかな？　 パスカルの三角形は上から作っていくけど、各行についてこんな手順を繰り返す。

• 両端の数は、 $1$ にする。
• 両端以外の数は、ちょうど上に並んだ二つの数を足し合わせた結果にする。

ユーリ「……」

僕「左端の $1$ は全部《$n$ 個のものから $0$ 個を選ぶ組み合わせの数》で、 右端の $1$ は全部《$n$ 個のものから $n$ 個を選ぶ組み合わせの数》になる」

ユーリ「……あのね、《$n$ 個から $n$ 個を選ぶ組み合わせの数》が $1$ になるのはわかる。 《ぜんぶ選ぶ》ってことだから、そりゃ $1$ 通りだよね。 でも、《$n$ 個から $0$ 個を選ぶ組み合わせの数》も $1$ なの？　何も選んでないんだよ？」

僕「うん、そうだね。 《$0$ 個を選ぶ》というと何も選んでないみたいに感じるけど、 《$n$ 個を捨てている》と考えれば、何を捨てるかを選んでいると考えられる。 つまり《$n$ 個から $0$ 個を選ぶ組み合わせの数》は《$n$ 個から $n$ 個を捨てる組み合わせの数》に等しくなるんだね」

ユーリ「あー、そりゃそーか。いまの話、おもしろいね。《どれを選ばないか》を選んでるんだ！」

僕「そういうこと。その話は、パスカルの三角形で上から降りてくる矢印を考えてもわかるよ（第392回参照）」

ユーリ「ほほー？」

矢印 $\RA$ を $0$ 個選ぶ

僕「たとえば、てっぺんから $4$ 個の矢印をたどって降りてくるときに《$4$ 個から $\RA$ を $0$ 個選ぶ》のは、 《$4$ 個から $\LA$ を $4$ 個選ぶ》のと同じことになる。そしてそれはどちらも $1$ 通り」

ユーリ「ふんふん。 それって、反対を考えても同じだね」

僕「反対って？」

矢印 $\LA$ を $0$ 個選ぶ

ユーリ「$\RA$ と $\LA$ を反対にするの。 《$4$ 個から $\LA$ を $0$ 個選ぶ》のは《$4$ 個から $\RA$ を $4$ 個選ぶ》のと同じでしょ？」

僕「$\RA$ と $\LA$ を交換して考えたんだね、その通り。 そう考えると、パスカルの三角形が左右対称になるのも納得がいくね。 《組み合わせの数》で考えると、

　《$n$ 個から $r$ 個選ぶ組み合わせの数》は《$n$ 個から $n-r$ 個選ぶ組み合わせの数》に等しい

からね」

ユーリ「$n-r$ 個選ぶのは $r$ 個捨てるものを選ぶのと同じことだから」

僕「そう。まあ、左右対称なのはパスカルの三角形の作り方からもわかるけどね」

ユーリ「《組み合わせの数》の表にしちゃうと、左右対称になんない」

僕「《組み合わせの数》の表は、数を左に寄せているからね。 でも、表の各行をよく見ると、ちゃんと左右対称だよね」

ユーリ「そりゃそーか。 $1$ も、 $1\quad1$ も、 $1\quad2\quad1$ も、 $1\quad3\quad3\quad1$ も全部左右対称……おっ、 ねーお兄ちゃん！　てっぺんの $1$ がおもしろい！」

僕「？」

$0$ 個から $0$ 個を選ぶ組み合わせ

ユーリ「《組み合わせの数》の表で見ると《$0$ 個から $0$ 個選ぶ組み合わせの数》が $1$ になるってことだよね！　何もないところから何も選ばないやり方を $1$ 通りって数えるの、 すんごくおもしろい！　透明人間を捕まえたみたい！」

僕「マニアックなところに気付くなあ。確かにそうだね。 《$0$ 個から $0$ 個選ぶ組み合わせ》というものにどういう意味付けをするか——そして意味付けをした方がいいのかどうか——は微妙なところはあるけれど、 《$0$ 個から $0$ 個選ぶ組み合わせの数》を $1$ と考えるのが規則的なのは確かだね」

選ぶ／選ばない

ユーリ「ねーお兄ちゃん。ぜんっぜん違う話、始めてもいーい？」

僕「ダメ」

ユーリ「うわなにそれいじわる！」

僕「どうせ『ダメ』って言っても始めるだろ、ユーリは」

ユーリ「ま、そーなんだけどね」

僕「それで？　全然違う話って？」

ユーリ「パスカルの三角形の話」

僕「全然違わない話」

ユーリ「違うって！　……あのね、《組み合わせ》を考えるときって、 選ぶものの順序は気にしないんだよね」

僕「そうだね。《組み合わせ》を考えるとき、 $1,2,3,4$ の $4$ 枚のカードから、 $2,3$ を選ぶのと $3,2$ を選ぶのは区別しない。 $2$ を先に選んでも、 $3$ を先に選んでも $2,3$ と $3,2$ を同じ《組み合わせ》だと考えるわけだね」

ユーリ「でも、パスカルの三角形を矢印で降りてくるときって、順序を気にするよね？　それなのに《組み合わせ》なの？」

僕「なるほど……ユーリが言うのはこういう意味だね。 たとえば、《$4$ 個から $2$ 個を選ぶ組み合わせ》を考えるときに、 $\LA\LA\RA\RA$ と $\RA\LA\RA\LA$ は $2$ 個の $\LA$ と $2$ 個の $\RA$ の順序が変わっただけなのに、 違う道筋だと考える。順序を気にしているようなのに、 どうして《組み合わせ》なのか？」

ユーリ「それそれ。順序を気にしないって、何だかわかんなくなっちゃった」

僕「なるほどね。確かにちょっと紛らわしいところはあるかな……」

ユーリ「うん。ある」