第389回 シーズン39 エピソード9

書かれている通りに読む難しさ（前編）

図書室にて

僕「……じゃあ、いよいよ《カード》に書かれた（１）〜（４）の性質を読んでいこう！」

テトラ「はい。これで、 $$(a,x) \mapsto ax$$という写像がどういうものなのかが規定されるわけですね！」

（１）$a(x + y) = ax + ay$

僕「最初は $a(x + y) = ax + ay$ だね」

テトラ「先輩……」

僕「ああ、ごめんね。テトラちゃんが読むんだった」

テトラ「わがまま言ってすみません。最初は $a(x + y) = ax + ay$ です。《カード》によりますとこうなっています」

僕「そうだね」

テトラ「$a(x + y) = ax + ay$ はよく知ってます」

僕「式の形は親しみがあるよね。 でも、ここでも文字に注意しないとね」

テトラ「文字に注意……ああ、確かに！　 $a$ は $K$ の元で、 $x,y$ は $V$ の元ということですね。 違う集合の要素が混じって登場しています。 あたしはまたうっかり、ぜんぶが数のつもりで考えていました」

僕「$V$ の元を太字にして書き直すと違いがよくわかるかも」

テトラ「はい、確かにこの方がはっきりしますね」

僕「ところでテトラちゃんは『任意の』という表現は特に引っかからない？」

テトラ「え？　ええ、特に引っかかりません。最初はとまどいましたけど、 『集合 $K$ の任意の元 $a$ に対して……』というのは、『$K$ という集合のどの要素 $a$ に対しても……』という意味ですよね？」

僕「そうだね。念のために確認しただけだよ」

テトラ「いろんな言い方があるのがおもしろいと思います」

• 集合 $K$ の任意の元 $a$ に対して、……がいえる。
• 集合 $K$ のどの要素 $a$ に対しても、……が成り立つ。
• 集合 $K$ のどんな元 $a$ に対しても、……となる。
• 集合 $K$ の各元 $a$ に対して、……である。
• 集合 $K$ のすべての要素 $a$ は、……を満たす。

僕「確かに。式で書けばこうなるね」

テトラ「はい」

【ＣＭ】

ユーリ「はいっ、数式マニアのお兄ちゃんのウンチクが出てきましたよー。ここでユーリちゃんのＣＭターイム！　 $\forall$ や $\exists$ などの論理のお話は『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』でどーぞ！　イプシロン・デルタ論法も出てきますぞー……って何じゃそれ？」

僕「じゃあ、次は（２）だね」

テトラ「あ、ちょっとお待ちください。先ほどの話ですと、 この（１）の式、$$a(x + y) = ax + ay$$は、スカラー倍という写像が持つべき性質ですよね。 スカラー倍というのは、 $K$ の元 $a$ と $V$ の元 $x$ に対して、$$(a,x) \mapsto ax$$という写像のことです」

僕「うん、その理解で正しいよ。 $ax$ は $K$ の元 $a$ と $V$ の元 $x$ を並べた表記になっている。 （１）では、 $ax$ がどんな性質を持っているか、その性質の一つを述べていることになる」

テトラ「あたし……そこがまだピンと来ていないようです。 どうして（１）が $ax$ の性質を述べていることになるんでしょう」

僕「ええと……それはどう説明したらいいかな」