第364回シーズン37 エピソード4

花を描く（後編）

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだが飽きっぽい。

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これって円なの？

僕とユーリは極座標（きょくざひょう）について図形を描いている。

極座標で $r = 1$ が単位円を表すという話題を話したり（第361回参照）、アルキメデス・スパイラルを描いたり（第362回参照）、まるで花のような曲線を描いたり（第363回参照）。

ところが描いているうちに……

僕「……ところでさっき花びら $2$ 枚になったよね。 $r = \ABS{\sin\theta}$ を描いたとき（第363回参照）」

極方程式 $r = \ABS{\sin\theta}$ が描く図形（再掲）

ユーリ「なったね。まんまる花びらが $2$ 枚できた」

僕「これって、円だと思う？」

ユーリ「えっ、円じゃないの？　二つの円だと思ってた」

僕「そうだね。二つの円に見えるけど……本当に円なのかなって思ったんだよ」

ユーリ「円か、円じゃないかなんて、わかんないよ〜」

僕「いや、調べることはできそうだよ」

クイズ

極方程式 $r = \ABS{\sin\theta}$ が描くこの図形は、円が二つのようだ。

でも、本当だろうか。

どうやったら、確かめることができるだろう。

ユーリ「いやいや、クイズ形式にしたからって、わかんないって！」

僕「そんなことないよ。クイズにしてみると、何を考えればいいかはっきりするから。円が二つのように見えるけど、本当に $r = \ABS{\sin\theta}$ が描いてるのは円なんだろうか。 どうやったら、確かめることができるだろう」

ユーリ「円かどうか、形を調べるんじゃないの？　学校でもよくやるよ。『じゃあ、みんなで調べてみましょう』って先生が言うの。みんなで！とか言っても、実際に調べるのは一人一人だけど……」

僕「円かどうか、形を調べたい。それはそう。 $r = \ABS{\sin\theta}$ という極方程式が描く形を調べるんだけど……うん、だから問題は、何が言えたら『これは円だ』とわかるのかってことだ」

ユーリ「ふむふむ。お兄ちゃんがよく言うヤツだ。《定義にかえれ》でしょ？」

《定義にかえれ》

僕「そうだね。いくら《円》という言葉をいじっても、何も出てこない。円の《定義》に立ち返って考える必要がある。そのためのポリアの問いかけが《定義にかえれ》になる。円の定義というのは、すなわち『円とは、こういうものである』というはっきりした説明のことだね。円の定義は『こういうものを、円という』って表現のときもある」

ユーリ「ユーリ、それはわかってんの！」

僕「いや、さっき『わかんないよ〜』って泣いてたから、考えを進める手がかりとして……」

ユーリ「ちがうの！　円の定義を気にしてるんじゃなくて、どうやったら、その定義をこの『花びら二枚』に当てはめられるかがわかんないの！」

僕「なるほど。そっちなんだね。ところで、念のため……円の定義は？」

ユーリ「『一点から等距離にある点の集合』が円でしょ？」

僕「……」

ユーリ「うん？　あーっと、違う違う！　平面上で一点から等距離にある点の集合！」

僕「そうだね」

ユーリ「平面上っていわないと球面かもしれないから」

僕「ユーリはすごくよくわかってる」

ユーリ「へへ」

僕「もうちょっとだけ言葉を補うと、平面上で、ある一点から等距離にある点全体の集合を円という、の方がよりいいね」

ユーリ「全体？」

僕「うん。ある一点から等距離にある点を集合の要素として集めるんだけど、一部じゃなくて全部を集める。《全体》という言葉を使うと、全部を集めるんだってことがはっきりするから」

ユーリ「へー」

僕「それから、円の定義に出てくる《一点》のことを、その円の中心という」

円

平面上で、ある点 $A$ から等距離 $\ell$ にある点全体の集合を円という。

このときの点 $A$ をこの円の中心という。

中心 $A$ と、この円上にある点との距離 $\ell$ を、この円の半径という。

ユーリ「円の定義はわかってるし、中心の定義も、半径の定義もわかってるって」

僕「はいはい」

ユーリ「でもね、この『花びら二枚』でどーやったら、平面上で一点から等距離にあるってわかんの？」

僕「うん、そうだね。ユーリは円、中心、半径の定義を知っている。そしていま、すごくいいことを言った」

ユーリ「ほえ？」

僕「『どーやったら、平面上で一点から等距離にあるってわかんの？』って言った。考えが前進しているよね。

この図形が、円であることを確かめるにはどうする？

から、

この図形上にある点が、一点から等距離にあることを確かめるにはどうする？

に前進している！」

ユーリ「うっわー……すっげーくどい」

僕「がく！」

ユーリ「何だか、当たり前のことを、ぎゅーっと引き延ばしてしゃべってるみたい」

僕「そんなことないよ。だって実際、考えを進める手がかりがちゃんと現れてきているだろ？」

ユーリ「んん？」

僕「試しに調べることが、はっきりした。《円の中心になりそうな点》と《この図形上の点》との距離を調べることだよね！」

ユーリ「そりゃそーか……円の中心は、こことここでしょ？　もしもこれが円だとしたら」

円だとしたら、中心はこことここ

僕「まずは、上の方で考えてみようか。《円の中心になりそうな点》をたとえば $A$ として、《図形上の点》をたとえば $P$ として、二点 $A$ と $P$ の距離を調べることになる。図形上のどこに点 $P$ を選んでも、距離が等しければ円になる！」

ユーリ「おっおっ、確かに！」

僕「《定義にかえれ》から、考えるべきことがはっきりしたことになるよね」

《円の中心になりそうな点 $A$》と《図形上の点 $P$》との距離を調べよう

ユーリ「距離……距離なんて、わかるの？　 $AP$ の長さのことだよね」

僕「そりゃわかるよ。おなじみ、三平方の定理だよね。点 $(x_1,y_1)$ と点 $(x_2,y_2)$ の距離を $\ell$ とすると、 $$ \ell = \SQRT{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ になる。だから、二点の座標値がわかれば、距離もわかる」

二点間の距離

直交座標において、点 $(x_1,y_1)$ と点 $(x_2,y_2)$ の距離を $\ell$ とすると、 $$ \ell = \SQRT{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ が成り立つ。

ユーリ「あっ！　でもそれは、直交座標じゃん？　花の形はずっと極座標でやってきてたのに、急に話を変えちゃうわけ？」

僕「ああ、そうだよね。ごめんごめん。僕たちがいま考えていた花の形は、 $$ r = \ABS{\sin\theta} $$ という極方程式だった。ここに出てくる $r$ と $\theta$ の組 $(r, \theta)$ は極座標として考えなくちゃいけない。でも、僕がいま言った二点間の距離は、直交座標での話。うん、ユーリの言うとおり」

ユーリ「だよねー」

僕「だから、極座標で表した点を直交座標に移し替える必要がある。座標を変換するんだ。でも、それは、そんなに難しい話じゃない……」

ユーリ「そーなの？」

僕「……うん、すぐわかる。直交座標を置いておく。そしてその上に極座標を重ねるように考えるんだ。ちょうど、グラフ用紙を重ねるみたいに」

直交座標（グラフ用紙のイメージ）