第357回 シーズン36 エピソード7

エラトステネスの解法

《予言者読み》は続く

ユーリ「本の《予言者読み》たーのしー！　どんどん行こー！」

僕「じゃあ、また少しずつ読んでいくことにするよ」

ユーリ「おっ、おもしろそーな話が出てきたよん」

僕「どれどれ……」

エウトキオスの注釈

ユーリ「どーする？」

僕「いやいや、どうしようもないよ。歴史的な事実だけから先読みをするのは無理。 何か数学的な話が出てきたところで止めることにしないと。 エウトキオスという人が、立方体倍積問題の解法を集めたという話からは何もわからない」

ユーリ「そりゃそーか。あっ、でも、この後に立方体倍積問題の解法がいろいろ出てくることはわかるよ！」

僕「そうだね……といっても、 立方体倍積問題が定規とコンパスを有限回使うだけでは解けないことは証明されている。 だから、歴史的に数学者が挑戦してきた様子が書かれているんだろうな」

ユーリ「メナイクモスの解法みたいに？　（第356回参照）」

僕「うん……そういう意味では確かに、数学的な内容でなくても《予言者読み》はできるな。 次に何が書かれているかを予想しながら読んでいくんだ」

ユーリ「ミステリーみたい」

僕「じゃあ、続けて読んでいこう。ミステリーツアーだ」

エラトステネス

僕「おっ！」

ユーリ「見えちゃった！」

僕「図が先に出てきたね……エラトステネス？」

ユーリ「三角形がたくさん出てきた。これで二つの比例中項がわかるの？」

僕「そうなんだろうなあ。 ヒオスのヒポクラテスが見つけた二つの比例中項を求めさえすれば、 当時の未解決問題だった立方体倍積問題が解けることになる（第355回参照）わけだからね」

ユーリ「うんうん」

僕「でも、この図だけじゃ、さすがに何も考えられないよ。先を読むか。 ところで、ここに書いてあるエラトステネスは、あのエラトステネスかな？」

ユーリ「ほほー、お知り合いですか？　そのエラ……エラトスト……ストネ？」

僕「そこは噛まずにスッと言ってほしかった。エラトステネス」

ユーリ「エ・ラ・ト・ス・テ・ネ・ス！」

僕「確かに、ギリシャの人の名前は言うのが難しいときがあるけどね。 エラトステネスというと、素数を求めるエラトステネスの篩（ふるい）が有名だね」

ユーリ「ふるい？」

僕「$2,3,4,\ldots$ と数を並べておき、小さい方から順番に倍数を消す。 そうやって、ふるいにかけるようにして素数を見つけていく方法だよ（『数学ガールの秘密ノート／整数で遊ぼう』参照）。 与えられた数が素数かどうかを判定する方法といってもいい」

【ＣＭ】

テトラ「お話の途中ですが、お知らせです。 素数のこと、倍数の見分け方、数当てクイズ、謎のパズル《ぐるぐるワン》など、整数で遊ぶ楽しい話題がいっぱいの本、『整数で遊ぼう』はこちらです！」

テトラ「『整数で遊ぼう』から、エラトステネスの篩の図を引用しますっ！」

ユーリ「テトラさんのＣＭ、ひさびさ」

僕「それから、地球の大きさを初めて測ったのもエラトステネスだよ。紀元前に地球の大きさを測っていたというのはすごいよね」

ユーリ「は？　そんなに昔からロケットがあったの？」

僕「違う違う。太陽の光が作る影を利用して、地球の大きさを計算したんだ」

ユーリ「影で地球の大きさがわかるって、ぜんぜん意味わかんない」

僕「最初に考えるのはすごく難しいと思うけど、わかってしまえば簡単だよ。こんな図を描けばすぐわかると思う」

ユーリ「この大きな円が地球だよね……右上に向かって立ってるのが柱？　地球に比べると、すごく巨大な柱ですこと（にやにや）」

僕「わかって言ってるね。もちろんこの柱は説明のために長く描いているんだよ。 注目するところはこの角度 $\theta$（シータ）だ。この角度は、柱の長さが長くても短くても変わらない」

ユーリ「ほほー……柱がどれだけ傾いているかってことだよね」

僕「そうだね。柱の先端と影の先端を使えば、柱の傾き具合を表す角度 $\theta$ がわかる」

ユーリ「ふむふむ」

僕「太陽がちょうど真上にあるタイミングで、そこから距離が $d$ だけ離れたところで $\theta$ を測る。 角度は $\theta$ 度だとしよう。地球が円だと考えて、その円周の長さを $L$ とすると、 $360$ 度で一回りすることから、 $$ \frac{d}{L} = \frac{\theta}{360} $$ になることがわかる。つまり、 $$ L = \frac{360d}{\theta} $$ となって $d$ と $\theta$ から $L$ がわかる。 もちろん、 $\theta$ をラジアンにしても同じ。そのときは計算の $360$ の代わりに $2\pi$ を使うことになる。 いずれにしても、この $L$ が地球のまわりの長さになるわけだ」

ユーリ「あったまいー！」

僕「ここでエラトステネスが使った条件がうまいよね」

ユーリ「条件って何？」