第314回 シーズン32 エピソード4

ふれあう三角関数：タンジェントをなぞって（後編）

僕の部屋

ユーリ「……ね！　これで、 $$ \tan(\KAKUDO{90} - \alpha) = -\tan(\KAKUDO{90} + \alpha) $$ がいえたよ！」

僕「そうだね。大正解！　これで証明ができたね！（第313回参照）」

大小クイズ

僕「$y = \tan\theta$ のグラフもできたことだし、ユーリに大小クイズを出そう」

ユーリ「大小クイズ？　何でもどんとこいやー！」

僕「さあ、どうかな？」

ユーリ「角度が大きくなれば $\tan$ は大きくなるから、いえる！」

僕「そうかな？」

ユーリ「だって、 $y = \tan\theta$ のグラフはいつも上がっていくじゃん？　こんな感じで」

僕「いつも上がっていく」

ユーリ「それに、角度が大きい方が高く見上げるわけだから、 $\tan\alpha < \tan\beta$ なのは当たり前でしょ」

僕「ファイナルアンサー？」

ユーリ「ん……ん……待って！　違う、違う！　いまのなし！　90度を《またぐ》ときがあるんだね？　たとえば、こーゆーの！」

僕「うん、そうだね」

ユーリ「だから、 $\alpha < \beta$ のとき……」

• $\tan\alpha < \tan\beta$ になる場合があるし、
• $\tan\alpha > \tan\beta$ になる場合もある。

僕「はい、正解。だから答えとしては《いえません》になる」

ユーリ「ふー……あぶなかったぜ。勘違い、勘違い」

僕「ところで、ユーリは、 $$ \tan\alpha < \tan\beta \quad\REMTEXT{と}\quad\tan\alpha > \tan\beta $$ の二つの場合を書いたけど、 $\alpha < \beta$ のとき、 $$ \tan\alpha = \tan\beta $$ になることはある？」

ユーリ「角度が違うのに $\tan$ が等しいとき……あっ、あるね！　もっと広げればいーんだ！　たとえば、 $\alpha = \KAKUDO{-120},\,\beta = \KAKUDO{60}$ とか！」

僕「そうそう、そうだね。 $\theta$ の定義域を考えればわかる」

ユーリ「むー……あのね、最初、 $$ \alpha < \beta \quad\REMTEXT{ならば}\quad \tan\alpha < \tan\beta \qquad \REMTEXT{（誤り）} $$ だって勘違いしたのはね、 $y = \tan\theta$ のグラフがつながってるところで考えたからなんだよー」

僕「そうだね。その気持ちはすごくわかる。 関数tanが連続になっている範囲ではいつも増加している。 たとえば、 $$ \KAKUDO{-90} < \alpha < \beta < \KAKUDO{90} \quad\REMTEXT{ならば}\quad \tan \alpha < \tan \beta $$ といえる」

ユーリ「-90度って、真下を向いてて、90度は真上を向いてる。だから、そのあいだについては、角度が大きくなるとtanも大きくなる」

僕「途中で減少せず、ずっと単調に増加するから、 《$\KAKUDO{-90} < \theta < \KAKUDO{90}$ で関数tanは単調増加する》っていうんだ。

ユーリ「たんちょうぞうか」

僕「途中で減少しないし、途中で等しくなることもないから、 狭義単調増加するということもある」

ユーリ「きょうぎたんちょうぞうか？　途中で等しくならないってどーゆーこと？」

僕「たとえば、 $y = f(\theta)$ のグラフがこんなふうになる関数fがあったとすると、これは狭義単調増加とはいわない」

ユーリ「途中で値が等しくなるところがあるから？」

僕「そういうこと。この関数fは広義単調増加だけど、狭義単調増加ではない。$\alpha < \beta\,\REMTEXT{で}\,f(\alpha) = f(\beta)$になる場合があるから」

ユーリ「こうぎたんちょうぞうか……《こーぎ》とか《きょーぎ》とかまぎらわしくてわかんないぞー！」

僕「そうだね。ちゃんと定義を書こうか」

ユーリ「なーんだ、要するにイコールがつくかどうかの違い？」

僕「そういうことだね。単調増加という言葉で《減少せずに増加する》ことをいいたいんだけど、 そうすると等しくなる場合も含まれてしまう」

• 《広義》は《広い意味では》ということ。言葉の意味を大らかにとらえる。広義単調増加は、広い意味では増加している。等しいときがあってもかまわない。等しいときがなくてもいい。

ユーリ「あー、だから、イコールが付くの？」

僕「そういうことだね。 それに対して、等しくはならないときの言葉を用意した。それが狭義単調増加。 《狭義》は《狭い意味では》ということ」

• 《狭義》というのは《狭い意味では》ということ。言葉の意味を厳しくとらえる。狭義単調増加は、狭い意味で増加している。等しいときがあってはいけない。

ユーリ「ふむふむー。理解したぜ！」

僕「関数はいろんなものの変化を考えるときに使うものだから、 増えていくか減っていくか……どんな振る舞いをするかは大事なことだよね」

ユーリ「そりゃそーだ」

僕「だから、関数の振る舞いを表す言葉があるんだよ」

ユーリ「またまた《先生トーク》炸裂だにゃ。……むむ、ちょっと待って」

ユーリ「もしも、関数が狭義単調増加だったら、広義単調増加？」

僕「おお！」

ユーリ「そーじゃない？」

僕「定義からすると、そうなるね。もしもある関数 $f$ が狭義単調増加だったら、それは広義単調増加といえるよ。それは論理的に正しい。なぜなら、 $$ f(\alpha) < f(\beta) \quad\REMTEXT{ならば}\quad f(\alpha) \LEQ f(\beta) $$ はいつもいえるから」

ユーリ「うんっ！　だったら納得！」

僕「それを考えてたんだね」

ユーリ「それから、 $-\KAKUDO{90} < \theta < \KAKUDO{90}$ の範囲で関数tanは単調増加……狭義単調増加だよね？」

僕「そうだよ」

ユーリ「でも、全体だと？」

僕「関数tanの定義域全体で考えるということ？　その場合は関数tanは単調増加じゃないよ。広義でも狭義でも。単調減少でもない」

ユーリ「あ、そっか。《どっちでもない》もアリなんだね。りょーかい！」

無限？

ユーリ「そっかーうんうん」

僕「どうした？　何か気付いた？」